Consejos útiles

Líneas paralelas, signos y condiciones de líneas paralelas.

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1. Si dos líneas son paralelas a la tercera línea, entonces son paralelas:

2. Si dos líneas son perpendiculares a la tercera línea, entonces son paralelas:

Los signos restantes de líneas paralelas se basan en los ángulos formados cuando las dos líneas se cruzan con la tercera.

3. Si la suma de los ángulos internos unilaterales es 180 °, entonces las líneas son paralelas:

4. Si los ángulos respectivos son iguales, entonces las líneas son paralelas:

5. Si los ángulos internos que se encuentran transversalmente son iguales, entonces las líneas son paralelas:

Propiedades de rectas paralelas

Las declaraciones inversas a los signos de líneas paralelas son sus propiedades. Se basan en las propiedades de los ángulos formados por la intersección de dos líneas paralelas de la tercera línea.

1. En la intersección de dos líneas rectas paralelas de la tercera línea recta, la suma de los ángulos internos unilaterales formados por ellos es igual a 180 °:

2. En la intersección de dos líneas paralelas de la tercera línea, los ángulos correspondientes formados por ellas son iguales a:

3. En la intersección de dos líneas paralelas de la tercera línea, los ángulos formados por ellas en forma transversal son iguales a:

La siguiente propiedad es un caso especial para cada anterior:

4. Si la línea en el plano es perpendicular a una de dos líneas paralelas, entonces es perpendicular a la otra:

La quinta propiedad es el axioma de líneas paralelas:

5. A través de un punto que no se encuentra en esta línea, puede dibujar solo una línea paralela a esta línea:

Líneas paralelas: información básica.

Primero recordamos las definiciones de líneas paralelas que se dieron en los artículos mediante una línea recta en un plano y una línea recta en el espacio.

Dos líneas en un avión se llaman paralelosi no tienen puntos en común.

Dos líneas en el espacio tridimensional se llaman paralelosi se encuentran en el mismo plano y no tienen puntos comunes.

Tenga en cuenta que la cláusula "si están en el mismo plano" en la definición de líneas paralelas en el espacio es muy importante. Aclaremos este punto: dos líneas en un espacio tridimensional que no tienen puntos comunes y no se encuentran en el mismo plano no son paralelas, sino que están cruzadas.

Aquí hay algunos ejemplos de líneas paralelas. Los bordes opuestos de la hoja del cuaderno se encuentran en líneas paralelas. Las líneas rectas a lo largo de las cuales el plano de la pared de la casa se cruza con los planos del techo y el piso son paralelas. Los rieles de ferrocarril en terreno plano también se pueden considerar como líneas paralelas.

Para indicar líneas paralelas use el símbolo "". Es decir, si las líneas ayb son paralelas, entonces a b puede escribirse brevemente.

Nota: si las líneas a y b son paralelas, entonces podemos decir que la línea a es paralela a la línea b, y también que la línea b es paralela a la línea a.

Hagamos una declaración que desempeñe un papel importante en el estudio de líneas paralelas en el plano: a través de un punto que no se encuentra en una línea dada, pasa una sola línea paralela a esta. Esta afirmación se acepta como un hecho (no se puede probar sobre la base de los axiomas conocidos de la planimetría), y se llama axioma de líneas paralelas.

Para el caso en el espacio, se cumple el siguiente teorema: a través de cualquier punto en el espacio que no se encuentre en una línea dada, pasa una línea única paralela a la dada. Este teorema se prueba fácilmente con la ayuda del axioma de líneas paralelas anterior (puede encontrar su prueba en la clase 10-11 del libro de texto de geometría, que se indica al final del artículo en la lista de referencias).

Para el caso en el espacio, se cumple el siguiente teorema: a través de cualquier punto en el espacio que no se encuentre en una línea dada, pasa una línea única paralela a la dada. Este teorema se prueba fácilmente con la ayuda del axioma anterior de líneas paralelas.

Paralelismo de líneas: signos y condiciones de paralelismo.

Una señal de líneas paralelas es una condición suficiente para líneas paralelas, es decir, tal condición, cuyo cumplimiento garantiza líneas paralelas. En otras palabras, el cumplimiento de esta condición es suficiente para indicar el hecho de que las líneas son paralelas.

También hay condiciones necesarias y suficientes para el paralelismo de líneas en el plano y en el espacio tridimensional.

Expliquemos el significado de la frase "una condición necesaria y suficiente para líneas paralelas".

Con una condición suficiente para líneas paralelas, ya hemos descubierto. Pero, ¿cuál es la "condición necesaria para las líneas paralelas"? Por el nombre "necesario" está claro que el cumplimiento de esta condición es necesario para líneas paralelas. En otras palabras, si no se cumple la condición necesaria para el paralelismo de las líneas, entonces las líneas no son paralelas. De esta manera condición necesaria y suficiente para líneas paralelas Es una condición cuyo cumplimiento es tanto necesario como suficiente para líneas paralelas. Es decir, por un lado, este es un signo de líneas paralelas, y por otro lado, esta es una propiedad que tienen las líneas paralelas.

Antes de formular la condición necesaria y suficiente para líneas paralelas, es aconsejable recordar algunas definiciones auxiliares.

Línea secante Es una línea que interseca cada una de las dos líneas dadas que no coinciden.

En la intersección de dos secantes rectas, se forman ocho ángulos no desarrollados. En la formulación de la condición necesaria y suficiente para líneas paralelas, el llamado cruz acostada, correspondiente y esquinas de un lado. Muéstralos en el dibujo.

Si dos líneas en el plano están intersectadas por una secante, entonces para su paralelismo es necesario y suficiente que los ángulos de mentira sean iguales, o los ángulos respectivos sean iguales, o la suma de ángulos unilaterales sea 180 grados.

Mostramos una ilustración gráfica de esta condición necesaria y suficiente para líneas paralelas en el plano.

Puede encontrar pruebas de estas condiciones de líneas paralelas en los libros de texto de geometría para los grados 7 a 9.

Tenga en cuenta que estas condiciones también se pueden usar en un espacio tridimensional: lo principal es que las dos líneas y la secante se encuentran en el mismo plano.

Damos algunos teoremas más que a menudo se usan para probar líneas paralelas.

Si dos líneas en el plano son paralelas a la tercera línea, entonces son paralelas. La prueba de esta característica se deriva del axioma de líneas paralelas.

Existe una condición similar para las líneas paralelas en el espacio tridimensional.

Si dos líneas en el espacio son paralelas a la tercera línea, entonces son paralelas. La prueba de esta característica se considera en las lecciones de geometría en el grado 10.

Ilustramos los teoremas expresados.

Damos un teorema más que nos permite probar el paralelismo de las líneas en el plano.

Si dos líneas en el plano son perpendiculares a la tercera línea, entonces son paralelas.

Hay un teorema similar para las líneas en el espacio.

Si dos líneas en el espacio tridimensional son perpendiculares a un plano, entonces son paralelas.

Representamos las cifras correspondientes a estos teoremas.

Todos los teoremas formulados anteriormente, las características y las condiciones necesarias y suficientes son perfectamente adecuados para probar el paralelismo de líneas por métodos geométricos. Es decir, para probar el paralelismo de dos líneas dadas, es necesario mostrar que son paralelas a la tercera línea, o mostrar la igualdad de los ángulos de mentira, etc. Muchos problemas similares se resuelven en las clases de geometría en la escuela secundaria. Sin embargo, debe notarse que en muchos casos es conveniente usar el método de coordenadas para probar el paralelismo de líneas en un plano o en un espacio tridimensional. Formulamos las condiciones necesarias y suficientes para el paralelismo de las líneas que se especifican en un sistema de coordenadas rectangulares.

Paralelismo de líneas en un sistema de coordenadas rectangular.

Si se especifica un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el plano, entonces la línea recta en este sistema de coordenadas está determinada por la ecuación de la línea en un plano de algún tipo. Del mismo modo, una línea recta en un sistema de coordenadas rectangular en un espacio tridimensional define algunas ecuaciones de una línea recta en el espacio.

En este párrafo del artículo formulamos condiciones necesarias y suficientes para líneas paralelas en un sistema de coordenadas rectangulares, dependiendo del tipo de ecuaciones que definen estas líneas, y también dan soluciones detalladas a problemas típicos.

Comenzamos con la condición de paralelismo de dos líneas en un plano en un sistema de coordenadas rectangular Oxy. La base de su prueba es la definición del vector de dirección de la línea y la definición del vector normal de la línea en el plano.

Para el paralelismo de dos líneas no coincidentes en el plano, es necesario y suficiente que los vectores de dirección de estas líneas sean colineales, o los vectores normales de estas líneas sean colineales, o el vector de dirección de una línea sea perpendicular al vector normal de la segunda línea.

Obviamente, la condición de paralelismo de dos líneas rectas en el plano se reduce a la condición de colinealidad de dos vectores (vectores de dirección de líneas rectas o vectores rectos normales) o a la condición de perpendicularidad de dos vectores (vector de dirección de una línea recta y vector normal de la segunda línea recta). Por lo tanto, si y son los vectores de dirección de las líneas a y b, yy son vectores normales de las líneas a y b, respectivamente, entonces la condición necesaria y suficiente para el paralelismo de las líneas a y b se escribe como, o, o, donde t es algún número real. A su vez, las coordenadas de las guías y (o) los vectores normales de las líneas ayb se encuentran a partir de las ecuaciones conocidas de las líneas.

En particular, si la línea recta a en el sistema de coordenadas rectangulares Oxy en el plano define la ecuación general de la línea recta y la línea recta b -, entonces los vectores normales de estas líneas rectas tienen coordenadas y, respectivamente, y la condición de paralelismo para las líneas rectas a y b se puede escribir como.

Si la línea recta a corresponde a la ecuación de una línea recta con un coeficiente angular de la forma, y ​​la línea recta b -, entonces los vectores normales de estas líneas rectas tienen las coordenadas y, y la condición paralela para estas líneas rectas toma la forma. Por lo tanto, si las líneas en un plano en un sistema de coordenadas rectangulares son paralelas y pueden definirse mediante ecuaciones de líneas con coeficientes angulares, entonces los coeficientes angulares de las líneas serán iguales. Y viceversa: si las líneas que no coinciden en el plano en un sistema de coordenadas rectangulares se pueden definir mediante ecuaciones de una línea con coeficientes angulares iguales, entonces dichas líneas son paralelas.

Si la línea recta ay la línea recta b en un sistema de coordenadas rectangulares determinan las ecuaciones canónicas de la línea en el plano de la vista y, o las ecuaciones paramétricas de la línea en el plano de la vista y, respectivamente, los vectores de dirección de estas líneas tienen las coordenadas y, y la condición para el paralelismo de las líneas ayb se escribe como.

Examinemos las soluciones de varios ejemplos.

¿Son las líneas y paralelas?

Reescribimos la ecuación de la línea en segmentos como una ecuación general de la línea :. Ahora vemos que es el vector normal de la línea, y es el vector normal de la línea. Estos vectores no son colineales, ya que no existe un número real t para el que la igualdad () sea verdadera. Por lo tanto, la condición necesaria y suficiente para el paralelismo de líneas en el plano no se cumple, por lo tanto, las líneas dadas no son paralelas.

no, las líneas no son paralelas.

¿Son rectos y paralelos?

Traemos la ecuación canónica de la línea a la ecuación de la línea con un coeficiente angular :. Obviamente, las ecuaciones de las líneas no son las mismas (en este caso, las líneas dadas serían las mismas) y los coeficientes angulares de las líneas son iguales, por lo tanto, las líneas originales son paralelas.

La segunda forma de resolver.

Primero, mostramos que las líneas originales no coinciden: tome cualquier punto de la línea, por ejemplo, (0, 1), las coordenadas de este punto no satisfacen la ecuación de la línea, por lo tanto, las líneas no coinciden. Ahora comprobamos que se cumple la condición paralela para estas líneas. El vector de línea normal es un vector, y el vector de dirección de una línea es un vector. Calculamos el producto escalar de los vectores y :. En consecuencia, los vectores y son perpendiculares, lo que significa que se cumple la condición necesaria y suficiente para el paralelismo de las líneas dadas. Por lo tanto, las líneas son paralelas.

Las líneas dadas son paralelas.

Para probar el paralelismo de las líneas en un sistema de coordenadas rectangular en un espacio tridimensional, se utiliza la siguiente condición necesaria y suficiente.

Para el paralelismo de las líneas que no coinciden en el espacio tridimensional, es necesario y suficiente que sus vectores guía sean colineales.

Por lo tanto, si se conocen las ecuaciones de líneas en un sistema de coordenadas rectangular en un espacio tridimensional y necesita responder a la pregunta de si estas líneas son paralelas o no, entonces necesita encontrar las coordenadas de los vectores de dirección de estas líneas y verificar la colinealidad de los vectores de dirección. En otras palabras, si y son los vectores de dirección de las líneas a y b, respectivamente, entonces para el paralelismo de las líneas a y b, es necesario y suficiente que exista un número real t para el cual sea verdadero.

Trataremos la condición de líneas paralelas en el espacio al resolver el ejemplo.

Probar el paralelismo de líneas y.

Se nos dan las ecuaciones canónicas de la línea en el espacio de la vista y las ecuaciones paramétricas de la línea en el espacio de la vista. Los vectores de dirección y las líneas dadas tienen coordenadas y. Desde entonces Por lo tanto, se cumple una condición necesaria y suficiente para el paralelismo de dos líneas en el espacio. Esto demuestra el paralelismo de las líneas y.

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